Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
[править]Свойства
Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведенные к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).
Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.
Стороны могут быть найдены следующим образом:
a = 2Rsin α,b = 2Rsin β (теорема синусов);
(следствие теоремы косинусов);
(следствие теоремы косинусов);
;
b = 2acos α (теорема о проекциях).
Углы могут быть выражены следующими способами:
β = π − 2α;
(теорема синусов).
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
P = 2a + b (по определению);
P = 2R(2sin α + sin β) (следствие теоремы синусов).
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).
[править]Признаки
Два угла треугольника равны.
Высота совпадает с медианой.
Высота совпадает с биссектрисой.
Биссектриса совпадает с медианой.
Две высоты равны.
Две медианы равны.
Две биссектрисы равны (теорема Штейнера — Лемуса).
